Девета лекция

Щутгарт, 9 януари 1921 година

Стигнахме до момента в нашето разглеждане, от който трябва да се придвижваме нататък крайно внимателно, за да виждаме ясно, доколко опасно е да излезем от реалността с нашите представи и оставаме ли вътре в границите на реалните представи, тоест дали сме избегнали опасността.

Сега ще стане дума за това, че последния път предложих да се сравнят два факта: появата на кометните феномени вътре в планетната система (в края на краищата, разбира се, вътре в планетната система, макар тя и да не се намира с тях в същата връзка) и това, което наблюдаваме при оплождането. Но за да се стигне изобщо до представи, които биха били донякъде обосновани, е нужно на първо място да се види – възможно ли е все пак да се изнамерят отношения между две неща, които във външния свят на фактите изглеждат толкова отдалечени едно от друго. Методологически няма да постигнем целта, ако не успеем да посочим нещо, където се намира нещо подобно, което може да ни придвижи по-нататък в нашите разглеждания.

Видяхме, как от една страна трябва да използваме елементите на фигурите и формално математическото, и как, обаче, отново биваме подтиквани по някакъв начин да постигаме качественото, някак да се приближаваме към качественото. Затова нека днес добавим нещо, проявяващо се по отношение на човека при разглеждането на този човек, който в крайна сметка е отражение (както можем да видим това от отделните неща в тези лекции), отразява небесните явления по някакъв начин, който тепърва трябва да установим. Доколкото човек е такъв, трябва по някакъв начин да постигнем яснота по отношение на самия човек. Трябва в известно отношение да разберем образа, от който искаме да изходим, трябва да разберем вътрешната перспектива. Както за изобразения образ първо трябва да си изясним, какво означава определен ракурс или нещо подобно, за да преминем от този образ към съотношенията на пространството, тоест да съотнесем образа с неговата реалност, така, ако искаме да интерпретираме от човека, трябва детайлно да се спрем на реалностите във вселената, първо да стигнем до яснота по отношение на човека. Но е изключително трудно, самите ние бидейки хора, да се приближим до човека с някакви постижими представи. Затова днес искам, изхождайки от прости отношения, да изведа пред душите ви, бих казал, постижимо-непостижими представи, представи, които вероятно отдавна са известни на мнозина от вас, но които все пак трябва да ги прекараме в определена връзка пред нашите души, за да се ориентираме изобщо по отношение на обхващането с представи на външния свят на основата на тези представи, които отчасти изглеждат доста лесно постижими, но отчасти, в определени граници, отново се оказват съвсем непостижими.

Може да ви се стори като принуда, че отново и отново подчертавам, че за разбирането на небесните явления трябва да се върнем към представния живот на човека. Все пак е ясно, че колкото и внимателно да описваме небесните явления, в тях няма да имаме нищо друго, освен някакъв вид оптичен образ, пронизан от всевъзможни математически представи. Именно това, което ни дава астрономията, има основната характеристика да бъде чист образ. Затова, ако искаме да се справим, трябва детайлно да се спрем на възникването на образа в човека, иначе няма да можем да заемем правилна позиция по отношение на това, което може да ни каже астрономията. И тук бих искал да взема днес за изходна точка нещо съвсем просто в математиката, за да ви покажа, как в една друга област, освен тази, в която ни доведоха относителните величини на периодите на въртене на планетите, вътре в самата математика се появява елементът на непостижимото. Това го срещаме, когато обичайните криви ги разглеждаме в определена връзка[1]. Мнозина от вас вече познават тези неща и аз бих искал днес само да им хвърля светлина от една по-особена гледна точка.

Ако разглеждаме известната ви елипса с два фокуса А и В, то, както знаете, елипсата се характеризира с това, че за коя да е точка М от елипсата е валидно, че сбора на разстоянията а + в от двата ѝ фокуса остава постоянен. Елипсата се характеризира с това, че сборът от разстоянията на коя да е точка до двете фиксирани точки, до двата фокуса, остава постоянен (рис. 1).

Освен това, имаме втора крива, хипербола (рис. 2). Знаете, че тя има два клона. Тя се характеризира с това, че разликата от разстоянията на коя да е нейна точка до двата фокуса a - b е постоянна величина. И така, в елипсата имаме крива с постоянен сбор, а в хиперболата крива с постоянна разлика. Тогава можем да се запитаме: как би изглеждала крива с постоянно произведение?

Често съм ви обръщал внимание върху тази крива с постоянно произведение – така наречената крива на Касини[2] (рис. 3). Да разгледаме предмета по следния начин: тук имаме две точки А и В и разглеждаме точка М и нейните разстояния до А и В. И така, имаме едно разстояние АМ и друго разстояние ВМ и поставяме изискването тези две разстояния, когато ги умножим, да са постоянна величина.

Тази постоянна величина за опростяване на пресмятанията ще обознача с b², а разстоянието АВ ще обознача с 2а . Ако приемем средата между А и В за начало на координатна система (О) и за всяка точка, удовлетворяваща това условие, изчислим ординатата – тоест ако позволим тук на точката да обиколи, така че за всяка точка от тази крива винаги да важи АМ х ВМ = b² , то за ординатата на коя да е точка, която ще наречем у, ще получим следното уравнение – ще ви съобщя само резултата по простата причина, че всеки може лесно да направи това изчисление. То може да се намери във всеки съответен учебник. За у получаваме следното значение: 

Ако тук (пред вътрешния корен) отчетем, че не можем да използваме отрицателен знак преди всичко защото в този случай ще получим мнимо значение за у, значи можем да вземем предвид само положителния знак и ще получим:

Ако сега прекараме съответната крива, ще получим елипсоподобна, но несъвпадаща с елипса линия, която по името на откривателя си е наречена крива на Касини. Наляво и надясно тя е симетрична относно оста на ординатата, а нагоре и надолу е симетрична относно оста на абсцисата. Това е, което следва да се установи.

Но тази крива получава различни форми, и това е, което е важното в нея за нас. Тази крива приема различни форми в зависимост от това дали b, както съм го взел тук, е по-голямо от а, равно на а, или по-малко от а. Начертаната току що крива възниква, когато b > а , и, освен това, трябва да бъде изпълнено определено условие, тоест b да бъде по-голямо или равно на . А именно, ако , то тук горе и долу имаме отчетлива кривина. Ако , тук в тази точка горе и долу кривата преминава в права, кривата става толкова плоска, че горе и долу тя почти се превръща в права (рис. 4).

Но ако стигнем до там, че , тогава се изменя цялото очертание на кривата. Тя получава такава форма (рис. 5). А при b=a кривата придобива съвсем особена форма (рис. 6). Тя по определен начин се придвижва назад в себе си, пресича себе си и се оказва от другата страна, и получаваме специалната форма на лемнискатата, така че лемнискатата представлява особена форма на кривата на Касини.

Особената форма е обусловена от отношението на постоянните величини, срещащи се в уравнението на кривата, в характеристиката на кривата. В уравнението имаме само две такива константи b и a, и от отношенията на тези постоянни величини зависи формата на кривата.

Но е възможен и трети случай, когато b