Четвърта лекция

Щутгарт, 4 януари 1921 година

Ако бях си поставил задача да представя материал за метода на самата духовна наука, естествено, би трябвало да изходя от други предпоставки, и би могло доста по-бързо да се достигнат целите, към които се стремим. Но такъв начин на разглеждане не би ни позволил да осъществим замисъла именно на тези лекции. Защото целта на тези лекции е да прокарат мост към обикновения научен начин на мислене, макар именно за това изложение избрах тема, при която е трудно да се прокара този мост, доколкото обикновения начин на мислене стои много далеч от гледната точка, съответстваща на действителността. Но даже ако тази несъответстваща на действителността гледна точка трябва да бъде преодоляна, именно в тази борба става очевидно, как да се излезе от неудовлетворителното състояние на съвременните теории и да се стигне към съответстващо на действителността разбиране на разглежданите факти. Затова днес бих искал да се опра на способа, който в течение на новото време е формирал представите за небесните явления.

При образуването на тези представи трябва да различаваме два момента: първо, тези представи са изведени от наблюдението, от наблюдението на небесните явления, и след това с тези наблюдения са били свързани теоретическите съображения. Понякога доста далеч отиващи теории са се свързвали с относително оскъдни наблюдения. Първо – това е когато се е изхождало от наблюдения и посредством тях се е стигало до определени представи. Второ, стигайки до определени представи, по-нататък от тях са се развивали хипотези. И в това формиране на хипотези, които след това се използват при изграждането на съвсем определен образ на света, се наблюдава, в голяма част от случаите, пълен произвол, доколкото в изграждането на теориите се проявяват предразсъдъците, битуващи в една или друга личност, изграждаща такива теории.

Тук искам преди всичко да ви обърна внимание върху нещо, което в началото може и да ви се стори парадоксално, но което, въпреки това, ако се разгледа точно, може да се окаже доста плодотворно в по-нататъшния ход на изследванията. Виждате ли, в цялото ново естественонаучно мислене господства това, което може да се нарече, а, впрочем, това така се и нарича, regula philosophandi[1]. То се състои в това, че се казва: това, което в някоя определена област на реалността е било обяснено с определени причини, трябва също и в другите области на битието, на реалността, да се обяснява със същата причина. Обикновено, изказвайки такова regula philosophandi, се изхожда от нещо напълно очевидно и разбиращо се от самосебе си. Така, например, се казва, както това винаги го правят последователите на Нютон: процесът на дишане би трябвало да има еднакви причини, както при животното, така и при човека. Запалването на клечка кибрит трябва да има еднакви причини, без значение дали става в Европа или в Америка. – До тук нещата остават абсолютно в рамките на нещо разбиращо се от самосебе си. Но след това става определен скок, който обаче не се забелязва, но го възприемат като нещо разбиращо се от самосебе си. Отличителните свойства на това се изявяват, когато виждаме нещо, добавено от такива личности, които са обсебени от този начин на мислене. Тогава се казва: ако свети свещ и свети Слънцето, в основата на светенето на свещта и на Слънцето причините би трябвало да са едни и същи. Ако камъкът пада на Земята и ако Луната се върти около Земята, в основата на движението на камъка и движението на Луната трябва да стоят едни и същи причини. Към такова разсъждение след това се добавя още и нещо друго: ако не беше така, би било невъзможно да се стигне до някакво обяснение в астрономията, защото обяснения можем да черпим само от земното. Ако в далечното небесно пространство не господстваше същата причинност, каквато и на Земята, би било невъзможно да се създаде каквато и да е теория. Но ви моля да вземете предвид, че това, което тук се изразява като regula philosophandi, не е нищо друго, освен предразсъдък. Защото кой в света ще гарантира, че причините за светенето на свещта и светенето на Слънцето са едни и същи? Или за това, че в основата на падането на камъка или падането от дървото на известната ябълка, благодарение на която Нютон е стигнал до своята теория, стоят същите причини, които са в основата на движение на небесните тела? Обаче, това е било нещо, за което е можело само да се досетиш. Това е само предразсъдък. Такива предразсъдъци се разпространяват навсякъде, където първо индуктивно свързват определени теоретически съображения, определени образни представи с наблюденията, а след това просто неистово дедуцират и с помощта на това дедуциране конструират мировите системи.

Това, което тук ви характеризирах толкова абстрактно, се е превърнало, обаче, в исторически факт. Защото, виждате ли, може да се проследи непрекъснатото развитие в това, което от малко на брой наблюдения са извлекли великите духовни личности в началото на новото време: Коперник, Кеплер, Галилей. Особено за Кеплер може да се каже, че в третия закон, за който вчера стана дума, стои нещо екстраординерно по отношение на анализа на фактите, които са му били на разположение. Кеплер е трябвало да приведе в действие колосална духовна сила, че от малкото, с което е разполагал, да намери този „закон“ – или, по-добре е да се каже, понятийното обобщение на мировите явления. Но след това е станало развитие, преминаващо през Нютон, което, собствено, е изхождало не от действителни наблюдения, а е изхождало, по същество, от теоретически конструкции и е създало всевъзможни понятия за сила и маса, които просто трябва да бъдат пропуснати, ако искаме да останем в рамките на реалността. Това продължило и след това. И достига, бих казал, някаква връхна точка, когато напълно остроумно и гениално достига до генетичното обяснение на мировата система, както виждаме това при Лаплас[2], в което ще можете да се убедите, прочитайки неговата знаменита книга „Exposition du systeme du monde“ или книгата на Кант „Naturgeschichte und Theorie des Himmels“[3]. И във всичко, което след това последвало в развитието, виждаме, как от съставените представи за връзките на небесните движения, се опитват чрез обратни умозаключения да обяснят също и възникването на тази мирова система, изхождайки от хипотезата за мъглявината и така нататък.

При това е нужно да се вземе предвид, че тук в историческия ход на развитие се намира нещо, съставено от индукции, които, разбира се, са гениално осъществени именно в тази област, и от последващи дедукции, в които, обаче, непременно е участвало това, което се е отнасяло към предпочитанията на споменатите личности. Така че може да се каже: доколкото някой е мислил материалистично, за него е било съвсем естествено да внесе материалистическите представи в дедуктивното понятие. Защото тук не говорят вече фактите. Сега тук би могло да се изхожда от това, което се е оказало теория само посредством дедукцията. И така, може да се каже, че съвсем индуктивно се е формирала, например, представата, която сега е трябвало да се обобщи в понятие: централното тяло Слънце, планети се въртят по определен закон, радиус-вектори в равни интервали от време описват равни сектори. – Насочвайки внимание към отделните планети на слънчевата система, може пак да се обобщи тяхното взаимно отношение посредством третия закон на Кеплер: квадратите на периодите на обикаляне на различните планети се отнасят както кубовете на средните им разстояния до Слънцето. Това е дало определен образ. Обаче не е бил решен въпросът, има ли този образ пълно съвпадение с реалността. Но това е била абстракция, извлечена от реалността. Не е било решено как се отнася този образ към всеобщата реалност. Обаче от този образ, съвсем не от реалността, а от този образ, посредством дедукция е получено всичко това, което по-нататък се превърнало в генетическата астрономия. Това е нещо, което непременно трябва да бъде внимателно разгледано. Съвременния човек от детството го учат, че това, което няколко века преди това е било дедуцирано, съответства на някаква реалност.

Затова, непременно изхождайки от действително научното, отказвайки се от чисто хипотетичните теории, появили се в течение на това развитие, ние ще изхождаме от представи, които само дотолкова са се отдалечили от реалността, че по-късно в тях все още може да бъде открита връзка с реалността. В цялото днешно изложение задачата ми ще бъде да се движа само до тогава в направлението, в което се е придвижвало в тази област съвременното мислене, че без да излизам от рамката на научното, да вървим заедно с него до формирането на понятия, които след това, когато ги разглеждаш като понятия, още позволяват отново да се прокара път към реалността. Тоест, аз не искам да се отдалечавам толкова от реалността, че понятията да станат толкова неточни, и от тях да може да се дедуцира хипотезата за мъглявината.

Ако днес ние постъпим по такъв начин в своите разглеждания, ще можем да кажем: проследявайки новообразуваните понятия в интересуващата ни област, в началото е нужно да се образува едно понятие, което наистина индуктивно се е проявило именно при Кеплер и след това също се е преобразувало, и което следва преди всичко да разгледаме. Още един път искам особено да подчертая, че в тези понятия искам да отида не по-далеч от това, такова понятие, даже бидейки погрешно в своята предварителна концепция, само незначително да се е отдалечило от реалността, да може да се изключи от него грешното и да се върне към реалността. Става дума да може да се развие определено усещане за реалност на понятията, които се формират. Не може да се постъпва по друг начин, ако искаме да прехвърлим мост между това, което съответства на реалността, и съдържащата се в най-новите теории научност.

Ето понятието, на което преди всичко трябва да се установим: планетите имат ексцентрични орбити и описват елипси. Това е, за което засега можем да настояваме: планетите имат ексцентрични орбити, те описват елипси; във фокуса се намира Слънцето, а те описват тези елипси, просто следвайки закона, съгласно който радиус-векторите за равни интервали от време описват равни сектори.

Втори важен момент, който е съществен в тази представа: всяка планета има своя орбитална равнина. Тоест, макар планетите в общи линии да осъществяват своето въртене, бих казал, в съседство, все пак всяка планета има собствена определена орбитална равнина, която е наклонена към равнината на слънчевия екватор[4]. По такъв начин, ако това характеризира равнината на слънчевия екватор (рис.), то равнината на орбитата на планетата просто ще изглежда така, и тя никак няма да съвпада с равнината на екватора.

Това са две много важни, значителни представи, които би трябвало да се формират на базата на наблюдения. Формирайки тези представи, веднага трябва да се огледаме за това, което, бих казал, въстава срещу тях в истинския образ на света. А именно, ако се опитаме просто да си представим нашата слънчева система в нейната съвкупност и при това положим в основата ѝ само тези две представи: планетите се движат по ексцентрични орбити и равнините на орбитите са наклонени към слънчевия екватор под различни ъгли, – желаейки да разширим това като закон, по никой начин не бихме се справили с това, особено в момента, когато поискаме да разгледаме движението на кометите. Щом насочим вниманието си към кометите и това вече е недостатъчно – не можем да се справим. Резултатите от това е по-добре да се разгледат чрез историческите факти, отколкото чрез теоретически разсъждения.

Кант, Лаплас и последователите им, изхождайки от представите, че равнините на орбитите на планетите лежат приблизително в равнината на слънчевия екватор, че орбитите са ексцентрични елипси, са формирали хипотезата за мъглявината. Проследете сега, какво се открива тук. В краен случай, – впрочем, наистина само в краен случай, – това изобразява някакъв вид история на възникването на слънчевата система. Но това, което тук е конструирано като мирова система, никак, по същество, не съдържа, каквото и да е удовлетворително обяснение по повод участието, което вземат при това телата на кометите. Те винаги изпадат от теорията. Това изпадане от теорията, както тя е получена по исторически път, е не нещо друго, а доказателство за неподчинението на живота на кометите на това, което е конструирано като понятие, изхождайки не от всеобщността, а само от една част на всеобщността. След това трябва да си изясним, че кометите на свой ред често съвпадат своите траектории с траекториите на другите тела, които също се появяват в нашата система и които именно благодарение на своето свойство да съпътстват кометите, представляват загадка. Това са метеоритните потоци, чиито траектории много често, и даже може би винаги, съвпадат с траекториите на кометите. И така, виждаме, че нещо нахлува в съвкупността на нашата система, и това ни довежда до там, че да си кажем: постепенно от разглеждането на съвкупността на нашата система се е формирал сбор от представи, чрез които да преодолеем това, което представляват кометите и метеоритните потоци, преминаващи много нередовно и почти произволно през тази система. Те съвсем излизат извън рамките на това, което още може да се разбере с помощта на получените от нас абстрактни представи. Би ми се наложило да направя за вас продължителен исторически преглед, ако поискам подробно да ви представя, какви трудности възникват винаги в нещо конкретно, когато изследователите или, по-добре да се каже, мислителите, изхождайки от астрономическите теории, стигат до кометите и метеоритните потоци. Но аз повсеместно искам да посочвам само направлението, в което може да се търси оздравяване. Ще стигнем до това оздравяване, ако вземем предвид още нещо друго.

Вижте, сега ще се опитаме от понятията, които обаче са останали в реалността, тоест още носят в себе си известен остатък от реалността, отново да се върнем малко назад. Въобще, това винаги е нужно да се прави по отношение на външния свят, за да не се отделяме със своите понятия твърде много от реалността. Човек има склонност да прави това. Трябва винаги отново да се връщаме назад. Нещо изключително опасно е станало, когато се е формирало понятието: планетите се движат по елипси, – и вече на основата на това понятие започва да се гради теория. Би било доста по-добре, ако, образувайки такова понятие, отново се обърнем към реалността, за да проверим, не следва ли да се коригира или поне да се модифицира това понятие. Това е най-важното и то много отчетливо се проявява в астрономическото мислене. В биологичното и особено в медицинското мислене тази грешка е толкова голяма, че вече въобще не се прави това, което е нужно, и никога не се взема предвид, колко необходимо е тутакси след формирането на понятието отново да се върнем към реалността, за да се види дали не трябва да бъде модифицирано.

И така, планетите се движат по елипси, но тези елипси са изменчиви, понякога те повече приличат на кръг, понякога повече на елипса. Това на свой ред ще го открием, ако с понятието елипса отново се върнем към реалността. В течение на времето елипсата се раздува, превръщайки се по-скоро в кръг, след това отново – по-скоро в елипса. И така, всеобщата действителност съвсем не се обхваща, когато кажа: планетите се движат по елипси, – и аз съм длъжен да модифицирам понятието. Аз трябва да кажа: планетите се движат по орбити, които постоянно се борят дали да станат кръг или да си останат елипси. Прекарвайки тук линията (елипсата), за да бъде понятието правдиво, аз трябва, собствено, да направя тази линия от каучук или поне да я направя подвижна, за да мога постоянно да я променям. Защото ако веднъж съм образувал елипсата, която представя едно завъртане на планетата, за следващото завъртане тя вече не подхожда, и още по-малко – за следващото след него. И така, не е вярно, че ако премина от реалността към твърдите понятия, все още мога да остана в рамките на реалността. Това е едното нещо.

И другото: казахме, че равнините на планетните орбити са наклонени към равнината на слънчевия екватор. Когато орбитите на планетите пресичат еклиптиката в посока нагоре или надолу, се казва, че образуват възли. Но и тези възли не са постоянни точки. Линиите, които, придвижвайки се, съединяват тези възли (рисунката на стр.33, К и К1), също се явяват линии на отклонението на равнините една от друга. И така, тези наклони, когато ги изразяваме в обобщени понятия, ни довеждат отново до застинало понятие, което тутакси трябва да модифицираме изхождайки от действителността. Защото ако орбитата има единия път определен наклон, а другия път – друг наклон, благодарение на това се модифицира всичко, изведено дотогава като понятие. Разбира се, стигайки до такъв момент, за удобство може да се каже: безусловно, в действителността съществуват различни смущения и тя само приблизително се обхваща от нашите понятия. – И след това може с това удобство да продължаваме да плуваме в теориите. Но се отплува толкова далеч, че при опит от теорията да се конструират фантастични образи, които трябва да съответстват на действителността, се оказва, че те не съответстват на действителността.

Естествено, лесно е да се съгласим, че трябва да съществува някаква връзка на тези изменения на ексцентричните орбити, на наклона на равнините на орбитите с живота на цялата планетна система или, да кажем, с дейността в цялата планетна система. Това някак трябва да е свързано с цялата дейност, трябва да ѝ принадлежи. Това се разбира напълно от самосебе си. Но ако изхождайки от това, отново формираме понятие, тоест ако кажем: е да, искам да направя мисленето си толкова мобилно, че да мога да мисля елипсата като постоянно разтягаща и свиваща се, равнината на орбитата ту издигаща се, ту спускаща се, да я мисля като въртяща се, изхождайки от това, мога отново да конструирам планетната система като отговаряща на действителността. – Прекрасно. Но стигнете докрай в мисленето за понятието и тогава при последователното мислене ще получите планетна система, която не може да съществува. Чрез сумиране на възникващите нарушения, особено вследствие изменчивостта на възлите, планетната система постоянно би вървяла към своята смърт, към своето вцепеняване. Но тогава би настъпило това, което винаги са подчертавали философите[5]: ако се изобрази такава система, действителността фактически вече е имала достатъчно време, за да стигне до крайната точка. И няма никакво основание да се смята, че това не е вярно. Тогава бихме имали работа с осъществена безкрайност и вцепеняването би трябвало да е настъпило вече. Тук навлизаме в област, която би трябвало да ни е ясна, и която вече, изглежда, гарантира, че мислите ни остават неактивни. Именно проследявайки своите мисли до последния момент, аз извличам мирова система, която е застинала и се намира в покой. Но това, което сега имам пред себе си, не е действително.

Стигаме и до още нещо друго, и трябва особено да го имаме предвид. Проследявайки тези неща по-нататък, – това особено може да се проследи при Лаплас[6], аз винаги съобщавам само явлението, – стигаме до това, че мировата система затова не е стигнала до застиналост вследствие на смущенията и променливостта на възлите и така нататък, че числовите съотношения на времената на въртене на планетите не са съизмерими, доколкото те са несъизмерими величини – числа с безкрайно голям брой десетични знаци. И така, стигаме до това, че да кажем: ако сравняваме периодите на въртене на планетите в смисъла на третия закон на Кеплер, отношенията на тези периоди на въртене не могат да се изразят посредством цели числа, а също посредством крайни дроби, а само посредством несъизмерими числа, посредством числа, които не се делят без остатък. Затова и днешните астрономи ясно осъзнават, че планетната система дължи своята продължаваща подвижност на това състояние на несъизмеримост на отношенията между периодите на въртене в третия закон на Кеплер, иначе тя отдавна вече би трябвало да спре.

Но сега всичко това изцяло се намира пред нашите очи. Накрая стигнахме до там, това, което развихме за планетната система в понятия, да го изразим в числа, които вече въобще са непостижими. Това е извънредно важно. По силата на необходимостта на самия ход на научното развитие стигаме до там, че математически да мислим за планетната система така, че математическите резултати вече да не са съизмерими. Където се появява несъизмеримост, там се намираме именно в мястото, в този момент, когато в математическия процес стигаме до несъизмеримите числа. Ние оставяме несъизмеримото число, пишем десетична дроб, но само до определено място. Някъде прекъсваме това наше занимание, когато стигаме до несъизмеримото. Математиците сред вас могат ясно да си представят това. Ще видите, че има нещо при несъизмеримото число, когато казвам: аз математизирам дотук и не мога да продължа по-нататък. – Не мога да изразя това по друг начин, – простете, ако за сериозни неща давам малко комично сравнение, – освен като си спомня една сцена, която веднъж наблюдавах в Берлин, много напомняща ми тази принудителна спирка в математиката. Тогава благодарение на някои хора на мода излязоха кабаретата, и един от тези хора беше Петер Хил[7]. Той също откри кабаре и четеше там свои стихове. Той беше много доброжелателен човек, в душата си беше истински теософ, но беше малко завладян от бохемския живот. Веднъж присъствах на представление, когато той четеше свои стихове в кабарето. Тези стихове продължиха толкова дълго, че отделните линии бяха готови и той четеше стиховете примерно така:

„Слънцето изгря … и така нататък” – първи стих.

„Луната се издигаше … и така нататък” – това беше втори стих.

На всеки ред той казваше: и така нататък, и тем подобни! Това беше четенето, на което присъствах. Всъщност, това беше извънредно стимулиращо. Всеки можеше да допълни реда както иска. Вярно, че при несъизмеримите числа това не става. Но все пак, щом се стигне до несъизмеримостта, работата стои така, че по-нататъшният процес може само да се набележи. Може само да се каже: по-нататък процесът ще се развива в това направление. Не е дадено нищо за формирането на представа: какво все пак става тук зад числата. Много е важно, че сме доведени до несъизмеримостта именно в областта на астрономическото наблюдение, което значи да се стигне до границите на математизирането по такъв начин, че действителността в един момент просто ни се изплъзва. Действителността ни се изплъзва – не можем да го кажем по друг начин. Това вече не е реалност.

Какво означава това? Използваме за небесните явления това, което е най-надеждното в нашата наука, математиката, но небесните явления не се покоряват на тази най-надеждна наука, а в един момент ни се изплъзват. Сякаш там, където става дума за техния живот, те се изплъзват в областта на несъизмеримото. Така че тук имаме такова явление, когато разбирането на действителността се прекратява в определена точка, и действителността преминава в хаос. Не можем предварително да кажем, какво собствено прави сега тази действителност, проследявана там математически, когато се изплъзва в несъизмеримото. Тя непременно прави там нещо свързано с нейната жизненост. И така, ако искаме да стигнем до астрономическата действителност, трябва да излезем от това, което сме овладели математически. Просто самите изчисления показват това, самото развитие на науката сочи това. Нужно е да се работи в такива моменти, ако човек иска да развие дух, съответстващ на действителността.

А сега бих искал да ви представя другият полюс на този предмет. Виждате ли, ако проследявате това физиологически, може да се изходи от някакъв момент в ембрионалното развитие, било то развитието на човешки ембрион във втори или трети месец, или на някое друго живо същество. Можете да го проследите в ретроспектива, а след това можете, доколкото го позволяват средствата на днешната наука, – обаче това е възможно само в крайно ограничена степен, както е известно на тези, които са се занимавали с това, – доколкото са изработени много малко истински представи, да видите: придвижваш се назад само до определен момент, – твърде далеч назад не може да се стигне, – до момента на отделяне на яйцеклетката, на неоплодената яйцеклетка. Представете си, колко назад можете да се придвижите тук. Но ако искате да се придвижите още по-нататък, вие навлизате в неопределеността на целия майчин организъм. В това обратно движение вие стигате до своего рода хаос. Това не може да се избегне, и че това е така, отново ни го показва ходът на развитието на науката. Моля ви да проследите какво се проявява в панспермията[8] и другите подобни неща в качеството на научни хипотези, представляващи по същество спекулации за това, дали отделната яйцеклетка се образува от силите на целия организъм, което повече съответства на възгледа на Дарвин[9], или тази яйцеклетка повече изолирано се развива само в половите органи и така нататък. Ако проследите хода на развитие на науката в тази област, ще видите, че даже тук се открива изобилие на фантазии, както стоят нещата с това, което стои в основата на генезиса, когато се проследява в обратен порядък образуването на яйцеклетката от майчиния организъм. Тук навлизате в пълната неопределеност. Днес изобщо по отношение на този предмет едва ли може да се намери във външната наука нещо друго, освен спекулации относно връзката на яйцеклетката с майчиния организъм.

Но след това в определена точка на развитието си тази яйцеклетка се държи по доста определен начин в нещо, което може, поне приблизително, достатъчно добре да се представи математически, макар и само геометрически. Започвайки от определен момент, могат да се правят диаграми. Такива рисунки даже съществуват в ембриологията. Можете повече или по-малко реално да проследите развитието на зародиша, можете да нарисувате клетката. Така нещо подобно може да започне да се изобразява чрез геометрията, може да се представи в геометрични форми. Тук проследяваме реалността, която по определен начин е противоположна на това, което видяхме в астрономията. Там в познавателния процес проследяваме реалността и стигаме до несъизмеримите числа. Цялата работа се изплъзва от нас в хаоса посредством самия познавателен процес; в ембриологията изпълзяваме от хаоса. В известна точка това, което излиза от хаоса, можем да го разберем в определени форми, подобни на геометричните форми. В известна степен можем да кажем: математизирайки в процеса на познание, чрез астрономията навлизаме в хаоса; в ембриологията само при наблюдението нямаме пред себе си нищо, освен хаос, който възниква, когато наблюдението вече е невъзможно. Тук излизаме от хаоса и стигаме до геометризирането. И затова идеал за някои биолози – напълно обоснован идеал, – е да разбират геометрично това, което ни се представя в ембриологията. Това е напълно обоснован идеал – да се рисуват фигури не само като натуралистични изображения на развиващия се ембрион, но да се конструират, изхождайки от вътрешната закономерност, която е подобна на закономерностите на геометричните фигури.

И така, сега бихме могли да кажем: проследявайки в своите наблюдения действителността, изхождаме от нещо, което е толкова чуждо на нашето познание, както съществуващите там (в астрономията) несъизмерими числа. От една страна, ние довеждаме нашето познание до известна степен там, където с математика вече не може да се проникне; в ембриологията започнахме познанието си в една определена точка, където може да се пристъпи с нещо подобно на геометрията. Моля ви да премислите тази мисъл докрай. Можете да направите това, доколкото тя представлява методологическа мисъл, тоест нейната действителност стои в нас.

Когато при изчисленията стигаме до несъизмеримите числа, тоест до определения момент, когато вече не внасяме реалност в числата, които можем да представим като резултат, тогава изследването ни трябва да започне с въпроса: не стои ли работата с геометричните построения по същия начин, както с аритметичните и аналитичните построения? С това ще се заемем в следващата лекция. Аналитичното построение довежда до несъизмеримо число. Да поставим преди всичко въпроса: как геометричните форми отразяват небесните движения? Няма ли тези отражения да ни доведат до определен момент, който прилича на това, към което ни води анализът, когато трябва да навлезем в несъизмеримите числа? Проследявайки мировите тела и планети няма ли да стигнем до граница, където ще трябва да кажем: сега вече не можем да си представяме в геометрични форми, сега вече не можем да разбираме с помощта на геометрични форми? Точно както трябва да оставим областта на постижимите числа, може би, трябва също да оставим областта, където можем да разбираме действителността с помощта на рисунки в геометрични – също и в аритметични, алгебрични и аналитични – форми, под формата на чертежи на спирали и така нататък. Може би тогава също и геометрично навлизаме в несъизмеримост. В този смисъл следващото обстоятелство е наистина забележително. Виждате ли, в ембриологията все още не можем в значителна степен да прилагаме анализа, но геометрията е напълно приложима там, където започваме да излизаме от хаоса и да развиваме ембриологичните факти. Тук, на този край, по-силно се проявява не числено несъизмеримото, а това, което се освобождава от формално несъизмеримото в съизмерима форма. Сега трябва да се опитваме да разберем действителността в двата ѝ полюса: там, където познавателният процес ни вкарва от анализа в несъизмеримостта, и там, където наблюдението ни вкарва от хаоса към разбирането на действителността във все по-съизмерими форми. Това са неща, които безусловно трябва някога да ги прекараме пред душата си преди всичко с пълна яснота, ако изобщо искаме в съответстващо на действителността наблюдение да се опираме на това, което днес се предлага от външната наука.

Бих искал сега да изходя оттук в методологическото разглеждане и утре да можем да се приближим по-близо до реалността. Искам да изходя от следното. Виждате ли, всичко, което досега си представяхме, определено имаше предпоставка: винаги пристъпвахме към мировите явления като математици. След това се изясни, че в една точка математикът стига до граница, до която той стига също и във формалната математика. И именно тук в основата на нашия начин на мислене стои нещо, което, може би, най-малко се забелязва, доколкото то, така да се каже, постоянно се скрива под маската на разбиращото се от самосебе си, и ние се заемаме, собствено, не с този край на проблема. Това изобщо се отнася към проблема за прилагането на математиката към действителността. Как, собствено, подхождаме към този проблем? Разработваме математиката като формална наука, – нейните изводи ни се струват абсолютно верни, – и след това прилагаме математиката към реалността, без да се замислим, че в действителност я използваме, основавайки се на определени предпоставки. Обаче днес вече напълно е създадена база да се осъзнае, доколко прилагаме математиката към външната действителност, собствено, само при определени предпоставки. Това става ясно, когато се опитаме да разширим математиката извън определени граници. Тук се изхожда от това, че определени закони, които сега, собствено, не се получават от външната действителност така, както току що го представих в резюмето по законите на Кеплер, а от самия математически процес. Това са закони, представляващи не нещо друго, а индуктивни закони, създадени по пътя на математиката. Но след това те се прилагат дедуктивно и отивайки по-нататък, върху тях се градят далеч отиващи математически теории.

Това са закони, с които днес се сблъсква всеки, който се занимава с математика. За тази линия на математическите изследвания многократно ни обърна внимание в своите дорнахски лекции нашият приятел Блюмел[10]. Преди всичко, един от законите, за които става дума, е този, който се нарича комутативен закон. Можем да го изразим, като кажем: самопонятно е, че

а + b = b + а   или а . b =b . а  .

Това можем да го разглеждаме като нещо разбиращо се от самосебе си, оставайки засега в областта на реалните числа. Но това е само индуктивен закон, изведен от практиката за използване на постулатите за изчисляване в сферата на реалните числа.

Вторият закон е асоциативният закон. Него можем да го изразим примерно така:

(а + b)+с = а + (b + с) .

И отново това е закон, изведен просто от практиката за използване на постулатите за изчисляване в сферата на реалните числа.

Третият закон е така нареченият дистрибутивен закон. Той се изразява примерно в следната форма:

а(b + с) = аb + ас .

И отново това е закон, изведен просто индуктивно от практиката за използване на постулатите за изчисляване в сферата на реалните числа.

Четвъртият закон може да се изрази примерно така: произведението е равно на нула само ако един от множителите е равен на нула. – Но този закон пак е само индуктивен закон, изведен от практиката за използване на постулатите за изчисляване в сферата на реалните числа. И така, имаме тези четири закона: комутативен закон, асоциативен закон, дистрибутивен закон и закон за превръщане на произведението в нула. Тези закони днес стоят в основата на формалната математика и се използват за по-нататъшна работа. И тук се стига до изключително интересни неща, които съвсем не могат да се отрекат.

Тук съществува проблем: тези закони вършат работа докато сме в областта на реалните числа и техните постулати, като при това никога не се отчита, съответства ли това на действителността. Можем да кажем, че в рамките на нашите формални опити a +b = b+a без съмнение е вярно, но вярно ли е това също и вътре в действителността? Възможно е да не се намерят никакви основания това да бъде вярно и в пределите на външната действителност. Един ден бихме били доста учудени от това, че не действаме по правилата, когато казваме, че при някакъв реален процес a +b = b+a . Но тук има също и друга страна. Ние вътрешно сме свързани с тази закономерност и затова се приближаваме към действителността с тази закономерност. От нашето наблюдение изпада всичко, което не съответства на тази закономерност. Това е другата страна. С други думи: ние установяваме постулати, които използваме за действителността, и ги смятаме за аксиоми на самата действителност. Но можем и да кажем: аз разглеждам определена област от действителността и проверявам, доколко приложим към нея е законът: a +b = b+a . Повече нищо не мога да кажа. Защото, когато пристъпвам с този закон към действителността, се открива всичко, което му съответства, и аз, без да се колебая, отхвърлям това, което не му съответства. Така сме свикнали да постъпваме и в други области. Например, в елементарната физика казваме, че телата притежават инерция, – и в такъв случай даваме определение: инерцията се състои в това, че телата без определено въздействие не напускат мястото, на което са, или не променят своето движение. Но това не е аксиома, а постулат. Трябва само да кажа: тяло, което не променя състоянието на своето движение, го наричам инертно, и сега изследвам в действителността, какво съответства на този постулат. И така, формирайки определени понятия, набелязвам само ръководните направления, за да пронижа по определен начин действителността с тези понятия, но трябва да държа отворена възможността да пронижа други факти с други понятия. Само тогава ще представя правилно четирите основни закона от теорията на числата, когато ги разглеждам като даващи ми насока, като нещо, което ми дава възможност да регулирам проникването в реалността. Но ако прилагам математиката към реалността конститутивно, тогава не съм на правилния път, защото в определени области непременно встъпвам в противоречие с тази реалност. Такова противоречие е това, за което говорих – появата на несъизмеримост при разглеждането на небесните явления.

[1] regula philosophandi: буквално „философско правило“. Нютон говори за това в своето главно произведение “Philosophiae naturalis principia mathematica” (1687). В мястото, където става дума за откриването на небесната механика, в началото на III книга, той формулира като водеща мисъл в пренасянето на земната механика на небето три (по-късно четири) „regula philosophand“ и дава примери, с които отчасти точно, отчасти с несъществени вариации съвпадат данните тук.

[2] Пиер Симон, маркиз Лаплас, Бомон-ан-Оже, Калвадос 1749-1827 Грандиозно развил създадената от Нютон небесна механика. „Mecanique celeste“, 5 Bde., Paris 1799-1825. Това съчинение е предхождано от написаното без математически формули „Exposition du systeme du monde“ 1796, в което намира израз също и писателското му ниво

[3] “Naturgeschichte und Theorie des Himmels”: анонимно появила се в 1755 година. Тя е написана съвсем в естественонаучен стил, изхождайки от възгледите за небесната механика на Нютон. „Дайте ми само материя, и аз ще построя от нея света!“, казва авторът в предговора.

[4] …равнината на слънчевия екватор: обикновено се използва за посочване на равнината на еклиптиката. От генетичния аспект на теорията на Кант-Лаплас равнината на слънчевия екватор се появява, разбира се, в качеството на определяща, и тя систематично се появява както при Кант, така и при Лаплас. Последният я нарича естествена опорна равнина („Exposition du systeme du monde“, 5 книга, 6 глава). Съгласно теорията, собствено, би следвало да се очаква, че двете равнини трябва да съвпаднат. Но това не става. Те образуват помежду си ъгъл примерно от 7°. Почти същия наклон има равнината на орбитата на най-близката до Слънцето планета Меркурий, впрочем, с равнината на слънчевия екватор тя, разбира се, съвпада само грубо, доколкото линиите не възлите на двете на еклиптиката образуват ъгъл 27°, който ежегодно се увеличава с 8". Доколкото тук слънчевият екватор е наречен опорна равнина, в полезрението попадат много факти, които астрономията трябва да приема само като факти без обяснение: отклоненията между равнините на орбитите и, в голяма част, силните отклонения на екваториалните равнини на планетите от равнините на орбитите. При Земята този толкова важен за целия живот наклон на земната ос е 23,5°.Ако Рудолф Щайнер е придал такова голямо значение на третия основен закон на Коперник, това, вероятно, е защото този закон се отнася по-различно към загадката за наклона на равнината на орбитата, отколкото небесната механика. Съгласно нея би следвало да се очаква, че всички отношения са в такъв прекрасен порядък, както при Юпитер, при който орбитата на планетата, екваторът на планетата и равнината на орбитите на основните спътници (и даже еклиптиката), много малко се отклоняват една от друга. При Земята работата стои по друг начин. Енергията, с която се говори за това, макар и да става в редки случаи, показва, че то засяга много други неща.

[5] което винаги са подчертавали философите - при най-известните философи тази мисъл не е намерена. Най-близо до нея стигат мислителите, които явно или неявно са мислели отвъд „Naturgeschichte und Theorie des Himmels [Естествознание и теория за небето]“ на Кант. Така намираме при Карл-ду-Прел (Carl du Prel) „Entwicklungsgeschichte der Weltalls. Entwurf einer Philosophie der Astronomie. Dritte vermehrte Auflage der Schrift: Der Kampf ums Dasein am Himmel [История на развитие на вселената. Ескиз по философия на астрономията. Трети допълнителен тираж на съчинението: Борбата за съществуване на небето]“, Leipzig 1882, S. 166: „Съдейки по това планетната система е консервативна, а системата на кометите е изменчива.… Това привидно противоречие, състоящо се в това, че гравитацията може да предизвиква такива различни резултати, разрешава теорията на развитието: двете главни групи на слънчевата система се намират на различни стадии в процеса на взаимно приспособяване на отделните им членове; по отношение на планетната система този процес е завършен, тя е достигнала своето равновесно състояние и затова тя е консервативна; системата на кометите, напротив, е изменчива, доколкото тя още не е намерила своето равновесие“

[6] това особено може да се проследи при Лаплас – Първото доказателство за стабилността на планетната система при опростени допускания е дал Лагранж. От него произлиза и първият пример за „динамично вцепеняване“, а именно, при планети, които вследствие действието на гравитационните сили имат свързан период на въртене. (В орбитата на голямата планета, в интервала от 60° се намират така наречените „точки на Лагранж“, около които малките тела могат да извършват колебания, „либрации“, наричат ги също точки на либрация.) По-късно сред планетоидите е бил открит пример за това в „троянските астероиди“(астероиди, които се намират в точките на Лагранж на която и да е планета). В последно време точките на Лагранж играеха известна роля при спътниците на Сатурн, изследвани по-подробно с помощта на сондирането на космическото пространство. – На Лаплас принадлежи развитието на редовете за приблизително решаване на проблемите с много тела, от което е следвало, че при рационални отношения на времената на въртене на планетите, смущенията би трябвало да се натрупат до нестабилност. По-късно през 1885 г. Поанкаре е свършил голяма работа по задачата за наградата на Шведската академия на науките, в която е било показано, че редовете, за които става дума, са разходящи и, следователно, не съществува никакво (общо) решение. – Тези редове са неприложими при съизмеримо или рационално отношение на времената на въртене, те са приложими при несъизмерими времена на въртене, но, както е показал Хенрих Брунс, и в този случай местата на конвергенция и дивергенция навсякъде са разположени плътно съединени едно с друго. (виж за това Carl Ludwig Charlier, Die Mechanik des Himmels, 1907, Bd. 2, S. 307ff.) – Последните резултати позволяват да се говори за „практическа несъизмеримост“ в планетната система, например, когато в уравнението сборът на целочислените кратности на времената на въртене между тези периоди е по-голям или равен на 4. Нестабилност при малки кратности се открива, например, във връзката на Юпитер с празнините на Киркууд в планетоидния пояс. Тук по определен начин господства „изпълнената безкрайност“, както е наречена в текста. При това „вцепеняване“ частично трябва да се разбира в смисъла на динамично вцепеняване, както то съществува при свързаното собствено въртене на Луната, спътника на Земята, и луните, спътници на другите планети. Това отново се казва на с. 64 и по-нататък. – В изданието на курса от 1983 г. в бележките подробно са се спрели, както се оказа необосновано, на една от съвременните теории (KAMTheorie). Юрген Мозер (Jurgen Moser), един от основателите на тази теория, в 1975 г. в своята лекция (Wolfgang Pauli-Vorlesung) в Техническия университет в Цюрих вдъхновено изложил историята на небесната механика и преглед на тази теория. В 1996 г, в специализираното списание „Mitteilungen der Deutschen Mathematiker- Vereinigung“ 4/1996, авторът за пръв път публикува този доклад, обаче го допълва с приложение, където той обсъжда най-важните резултати от изследванията от последно време. Решаващи за възлаганите надежди тогава са били резултатите от изследванията на Ласкар (J. Laskar) от 1994 г., които дали повод за следните думи: „Какви са резултатите от тези изчисления и каква е присъдата за годността на KAM-теорията за тези проблеми? …И така, заключението на Ласкар за пригодността на “KAMTheorie” към слънчевата система е негативно. За много от планетите не е характерен квазипериодичният характер, описан в тази теория, а съществуват даже и нестабилности, които, разбира се, се разкриват като ограничени в определена област на фазовото пространство и не водят до разпад на системата. …И така …въпросът за стабилността на слънчевата система днес още остава открит!“. По такъв начин приложимостта на “KAMTheorie” към слънчевата система се отрича тук от самия автор на теорията. Трябва да се добави, че споменатите по-рано трудности в планетната система касаят, преди всичко, изчислимостта. Работата е там, че при съизмерими отношения редовете са неприложими за изчисления. Но доколкото всички измеряеми величини винаги са съизмерими – това стои в основата на понятието измерване, – за планетните движения редовете винаги са неприложими. Но това изказване се отнася за редовете, а не за планетната система. И ако при дадените числови отношения би могло да се докаже, че самата система се намира в опасно нестабилно състояние, то това би показало само, че слънчевата система не е само един нютонов проблем с n тела, защото тя се пронизва от комети, магнитни полета и светлина. Не е ли обезпокоително, че продължително време не действат постоянни числови отношения чак до n-тия десетичен знак? В осма лекция за това ще бъде дадена широка представа.

[7] Петер Хил – 1854-1904

[8] панспермията – тук се има предвид въведеното от Дарвин понятие „пангенезис“ (Charles Darwin, „Das Variieren der Tiere und Pflanzen im Zustande der Domestikation“) с приложението („Vorlaufige Hypothese der Pangenesis“, 1868). “Панспермия” според съдържанието – това, примерно, в смисъла на Сванте Арениус е разпределение и блуждаене на жизнени зародиши във вселената.

[9] Чарлз Дарвин – 1809-1882, главното му произведение „Die Entstehung der Arten durch naturliche Zuchtwahl [Произход на видовете по пътя на естествения подбор]“ е публикувано в 1859г.

[10] Ернст Блюмел, 1884-1952 . Математик. Учител в Свободното Валдорфско училище и в други училища. С голяма вероятност на него принадлежи изцяло изпълненото съставяне на текста на дадения курс, основан на ръкописните формули и коректури. Обаче той е попаднал в ръцете на издателя и на по-късен етап от работата не е успял да повлияе на предлагания на читателя текст. Други източници за текста, освен записките на Хумел, не е имало. Предполага се, че подготовката на първото издания е преминала също без негова намеса.