Седемнадесета лекция

Щутгарт, 17 януари 1921 година

В началото бих искал още един път да се върна към едно нещо, което може да предизвика недоразумение, ако някой от уважаемите слушатели някога поиска да помисли по-нататък по изложените тук неща[1]. Става дума, че трябва да си представите, че равнината, в която рисувам лемнискатата, едновременно се върти около оста на лемнискатата, около линията, съединяваща двата фокуса, или я наречете както искате. Тогава, естествено, трябва да изобразя лемнискатата в пространството. Това (рис. 1) представлява проекция. И с това пространствено изображение на лемнискатата имаме работа, ако се вземат предвид всички неща, за които говорих, когато се проследят по такъв начин костната и нервната система – може даже да се проследи кръвообращението.

Всичко това трябва да си го представяме не в равнина, а в пространството. Затова, макар изображението на лемнискатата във вид на осморка да е напълно оправдано, вече посочих, че тук, собствено, имаме работа с тяло, получено чрез ротация[2]. По такъв начин, това стои също в основата на изложеното от мен, когато казах: по определен начин формирането на организацията в нервно-сетивната система и в системата на крайниците и обмяната на веществата са подчинени една на друга на принципа на такава ротационна лемниската.

Става дума за това, че доколкото по известен начин пространствено сме свързани с нашата Земя, е нужно да търсим критерия за движението на Земята в пространството в измененията, които произлизат в самия човек. Казах, че ако движенията ги разглеждаме само външно, е невъзможно да се преодолее тяхната относителност. Но става дума, че в момента, когато се преживява движението, и когато вследствие на преживяването на движението може да се констатира изменение вътре в даденото тяло, по вътрешните изменения може до известна степен да се отгатне реалността на движението.

Посочихме, че даже в процесите на обмяна на веществата имаме някакъв критерий за произволното движение, което предприема човек, премествайки някак своя център на тежестта паралелно на повърхността на Земята. За движението, което, без съмнение, изпълняваме заедно със Земята в мировото пространство, в процесите, протичащи както протичат тези процеси на обмяна на веществата при произволно движение, критерий имаме в явлението умора, появяващо се в течение на деня, тоест при изменяща се височина на Слънцето. И така, можем да кажем: това, което се разиграва между главата и останалия човек във вертикална посока, когато човек стои изправен, се разиграва също, когато човек спи в посока успоредна на повърхността на Земята, в която по същество преминава гръбнака на животното. Така че, собствено, при сравняване на обмяната на веществата по време на сън и будност имаме един вид реагент за отношенията на движение на Земята и Слънцето.

Оттук можем да отидем към другите природни същества. Виждаме растението, което поддържа вертикално направление. Това е същото направление, което като хора имаме в будно състояние. Трябва само да си изясним, че сравнявайки нашето вертикално направление с вертикалното направление на растежа на растенията, не трябва да ги обозначаваме с едни и същи знак, а трябва да ги обозначаваме с противоположни знаци. Има много причини, които ни карат да смятаме вертикалното направление при човека за противоположно на вертикалното направление на растежа на растенията. За това има много причини. Искам още един път да посоча това, което вече споменах[3], а именно, че процесът на растежа на растенията, който завършва с отлагането на въглерод, в човека е отменен, и че до известна степен в човека той трябва да се извършва отрицателно. Това, което растението консолидира в себе си, човек трябва да го отделя. Това и други подобни съображения ни принуждават да кажем: ако представим направлението на растежа на растенията така, съответното направление при човека ще изглежда така (рис. 2).

Сега възниква въпросът: какво, собствено, имаме в това направление? В това направление имаме нещо, което от година в година е свързано с нашия растеж, докато изобщо растем – процесът в нас е подобен на това, което съществува при растенията. Но ще бъдем прави, само ако си го представим така: растението расте от Земята нагоре в радиално направление по посока на мировото пространство; но самите себе си трябва да си се представяме така, че на нашия физически видим растеж противостои свръхфизически невидимият, който по определен начин враства в нас отгоре надолу. Можем да се опитваме да разберем човешката форма, ориентирана във вертикално направление, до известна степен представяйки си следното: човек расте нагоре, но срещу него прораства някакъв вид невидимо растително образувание, развиващо своите корени нагоре, по направление на главата, а своите цветове развива надолу. Това е отрицателен процес на формиране на растението, който е противопоставен на физическия процес на формиране на човека. В това направление (двете стрелки) трябва да търсим еднородни движения. Както растението израства от Земята, трябва да си представяме също, че от мировото пространство, от Слънцето, насреща – към центъра на Земята – расте това свръхфизическо човешко растение в направление към центъра на Земята. В двете еднакво насочени линии тук имаме линията на растежа, – както беше казано, сега мога да дам само направлението, а вие напълно можете да проследите това по-нататък на основата на емпиричните явления – но само в единия случай устремена към положителното, а в другия случай стремяща се назад към отрицателното, и в това трябва да търсим свързващата линия между Земята и Слънцето. Няма да можете да си представите това по друг начин – впрочем, тази представа е доста обикновена, – освен да виждате в тях едновременно линии на движението както за Земята, така и за Слънцето. И така, линиите на движението за Земята и Слънцето трябва да ги търсим в съединяването на двете линии, но така, че тази линия да бъде насочена перпендикулярно на повърхността на Земята.

Това, което ви излагам тук, се съдържа в много лекции, но все пак бих искал да ви дам нещо субстанциално, което да можете да проследите по-нататък, и бих искал да ви доближа до определен резултат, който, разбира се, малко неочаквано трябва да бъде добавен сега към по-методически построените разглеждания: и така, стигаме до това, че трябва да си представим, че в действителност Земята и Слънцето по определен начин се движат по една и съща орбита, и, от друга страна, все пак противоположно едно на друго. За този факт можете до известна степен субстанциално да получите представа благодарение на това, което изложих вчера. А именно, казах ви, че работата няма да потръгне, ако не си представим строежа на Слънцето – слънчево ядро, фотосфера, атмосфера, хромосфера и корона – така, че в същия смисъл, в който на Земята определени изходящи течения за образуването на кратери, даже за приливи и отливи, вървят отвътре навън, на Слънцето вървят отвън навътре, така че Слънцето изпраща своите изходящи потоци от периферията навътре към слънчевото ядро. Следователно виждаме нещата в околностите на Слънцето до определена степен така, както бихме виждали нещата на Земята, ако се намирахме в центъра на Земята и поглеждахме навън, като така бихме превърнали нещата от изпъкнали във вдлъбнати. Когато гледаме Слънцето, виждаме до известна степен земните процеси, но така, сякаш се намираме в центъра на Земята и вътрешната повърхност на Земята от вдлъбната е станала изпъкнала, така че вътрешността на Земята е станала външен облик на Слънцето. Ако положите в основата именно тази представа, ще успеете много добре да видите полярно противоположната природа на Земята и Слънцето. Важно е и това, че добивате някаква представа, как строежът на Слънцето се получава от строежа на Земята също чрез такова обръщане наопаки, както ви показах в отношението на организма на крайниците и обмяната на веществата с тръбната кост и нервно-сетивния организъм с черепната кост. Така още повече получавате връзката на човека с космоса. Полярността в човека има същия характер като полярността между Слънцето и Земята.

Ще следвам сега определена линия на мисълта, която, може би, ще се стори проблемна на някой. Ако бихме могли да изучим всички междинни връзки, бихте я почувствали като напълно надеждна, но както вече казах, искам да ви доближа до нещо субстанциално. И така, трябва да търсим крива, която е възможно да ни позволи да си представим, че движенията на Слънцето и Земята преминават по една и съща орбита, и, от друга страна, все пак са противоположни. Тази крива може да бъде определена еднозначно. Ако се разгледат всички взети предвид геометрични места на точките, получени по такъв начин, може еднозначно да се определи тази крива. Нужно е само да си представите тази крива на ротационната лемниската, но такава, която в същото време се придвижва напред в пространството (рис. 3). Освен това си представете, че в някаква точка на тази лемнискатна винтова линия се намира Земята, а

в друга точка се намира Слънцето, и Земята се движи, следвайки Слънцето. Така тук имате движението на Земята нагоре и движението на Слънцето надолу (при E1, S1). Те се разминават. Няма да имате никаква възможност да си представите, какво действително стои в основата съгласно критериите, по които може да се оцени движението както на Земята, така и на Слънцето, освен да си представите всичко, изхождайки от това, че Земята и Слънцето се движат по лемнискатна винтова линия, следвайки се, и вследствие възниква това, което сега се проектира в пространството. Тук имате линията на наблюдение (ЕS); представете си, че проектирате Слънцето тук (S); да предположим, че Слънцето се е придвижило напред (S1), и виe щe получите неговото видимо място с всичко, което следва да се отчита като проекция на това, което се получава, когато Земята и Слънцето се разминават. Трябва само, ако искате да получите вярно изчисление, да отчетете всички различни корективи, например уравненията на Бесел[4] и други подобни. Трябва в това място да отчетете всичко, което тук действително го има. Трябва да вземете предвид, че за изчисленията съвременната астрономия има три Слънца, както вече споменах, а именно действителното Слънце, междинно Слънце и средно Слънце. Две от тези три Слънца, естествено, са измислени, защото тук има само истинско Слънце. Но това, което имаме при определяне на времето, се съобразява на първо място с междинното Слънце, което съвпада с истинското Слънце само в перигей и апогей, а в другите случаи навсякъде се разминава с него; и освен това, с другото Слънце, което съвпада с междинното Слънце само в точките на равноденствието. Следва само в съответствие с всичко това, да се коригира установеното като орбита на Слънцето. Когато всичко това се събере заедно и след това се направят изчисления, ще се получи, разбира се, този резултат. По такъв начин се получава резултат, който съвпада с това, което ни се дава чрез наблюдението на връзките на човека с космоса.

Сега работата е, правилно да отнесем кривата, която получихме тук, към нашата слънчева система. За целта искам да ви нарисувам, изключвайки от разглеждането двете най-външни планети – те не са ни нужни в тази връзка, – първо обичайната хипотетична слънчева система (рис. 4):

орбитата на Сатурн – отношенията тук нямат значение, – орбитата на Юпитер, орбитата на Марс, орбитата на Земята с лунната орбита, орбитата на Венера, орбитата на Меркурий и Слънцето. Някъде на тези орбити в такъв случай трябва да търсим съответните планети. Сега работата е в това, как се вписва тук казаното за орбитата на Слънцето и Земята, ако преди всичко искаме да разглеждаме това, което имаме тук, като някакъв перспективен образ. Ако проведем изчисленията така, както преди беше казано, това се вписва по следния начин. Трябва да начертаем орбитата на Земята така, че по определен начин тя да се стреми към това място, което дотогава е заемало Слънцето, а Слънцето на свой ред – към мястото, което дотогава е заемала Земята. По такъв начин в резултат получаваме половината на лемнискатата: Земя, Слънце, Земя, Слънце; завършвайки кръга, по-нататък това продължава (рис. 5).

Виждате, че те се разминават. Така че ще получим действителната орбита на Земята и Слънцето, ако последователно си представим Земята един път така, че тя се намира на мястото, където сме свикнали обикновено да рисуваме Слънцето, и след това трябва да изобразим Слънцето там, където обикновено сме свикнали да рисуваме Земята. Всъщност ще получим истинските съотношения на движенията на Земята и Слънцето не когато приемем, че едното или другото е в покой, а само когато си ги представим и двете в такова движение, вследствие на което едното следва другото, като в същото време се разминават. Така че представата ни трябва да е следната: в перспектива в центъра на планетната ни система се виждат поред ту Слънцето, ту отново Земята, която, по същество, заема мястото, където в противен случай се намира Слънцето. По някакъв начин те се разменят. Но този въпрос е сложен, тъй като планетите, разбира се, междувременно сменят местата си, и вследствие от това възниква значително усложнение. Но ако в настоящия момент се съглася с тази перспективна рисунка (рис. 4), съм длъжен да изобразя това така (Слънцето в центъра). Ще получа до известна степен друго разположение, ако в идеала нарисувам последователността на планетите така, че тук (в центъра) ще се намира Земята, след това Луната, Меркурий, Венера, Слънцето, Марс, Юпитер и Сатурн. И така, виждате, че работата е в това, че по известен начин сме се съблазнили да съставим с помощта на перспективата крайно опростена система, която, обаче, не е толкова проста. Всъщност се получава така, сякаш по отношение на планетите Земята и Слънце сменят своите места спрямо центъра.

В действителност, трябва да кажа, че съвсем не ми е лесно да ви излагам тези неща, които днес още могат да се възприемат като нещо фантастично, защото сега нямам възможност да направя изчисленията във всички детайли, с всички тънкости, но вие можете да направите това. Но след като изразихте желание да ви изложа отношението на астрономията към другите научни области, не ми остана нищо друго, освен да резюмирам всичко колкото може по-ясно.

И така, ако проследяваме орбитата на Земята и Слънцето, без да имаме засега предвид планетната система, трябва да си представим лемнискатата, по която Земята следва Слънцето. Тук е дадена нейната проекция (рис. 6). По този начин виждате възможност да свържете с гравитацията някаква разумна представа. Тя стои в основата на принципа на следването след нещо. И ако си представите нещата така, вече няма да ви е необходим малко съмнителния дуализъм на гравитационната сила и тангенциалната сила, защото тук те са приведени към една сила, ако внимателно премислите тази ситуация.

Рис.6[5]

И без това е малко проблематична постановката, в която трябва да си представяме Слънцето в центъра и около него в кръг планетите, през които преминава стремеж към действие в тангенциално направление, както следва да се предположи, ако искаме да утвърдим нютонизма. Ако сега си представите това тук като орбитата на Земя-Слънце, ще трябва да си изясните в перспектива формите, които имат орбитите на другите планети заедно с хода на орбитата на Земя-Слънце, и да представите орбитата на близките до Слънцето планети по такъв начин, че да можете да ги начертаете примерно така. По този начин получавате възможност, ако имате тук линията на наблюдение, при някакво друго положение на планетите да получите в резултат на орбитата примка като перспективно образувание. Тук е наблюдателната линия (v). Тук получаваме примката (s) и тези два клона, както изглежда, отиват в безкрайността (u). От друга страна, като си представите, че ако тук е орбитата Земя-Слънце и тук орбитата на вътрешните планети, съответстващите орбити на външните планети представляват такива лемнискати (рис. 7; новата орбита е дорисувана около рис. 6); сега трябва да я нарисувам отгоре и следващата ще бъде същата. Но лемнискатата се движи напред, тоест минава през тази лемниската, представляваща външните планети. Имаме система от точно разположени лемнискати като орбитите на планетите, а също и като орбитата Земя-Слънце. Това, което изобразих тук схематично, можете лесно да го приведете в съответствие с факта, че в перспектива виждаме примката на Венера и Меркурий в съединение, и че, освен това, трябва да видим примките на Юпитер, Марс и Сатурн в противостоене. Сега преди всичко ще видите, каква връзка съществува на свой ред между планетите и човека.

Защото си струва само да разгледате това, и да си кажете: това, което имаме в Меркурий и Венера, се намира близо до направлението на самата орбита Земя-Слънце. То се намира в космическа близост до траекторията Земя-Слънце. Затова тук имаме работа с радиална линия, която по същество, представлява съединение на Земята и Слънцето. Напротив, другите орбити, орбитите на външните планети, на горните планети, се вземат повече предвид благодарение на своето странично направление, благодарение на своето сферично направление; със своето действие те се приближават повече към това, което протича в тяхното движение периферно. Затова можем също да кажем: това, което виждаме във Венера и Меркурий, е по-родствено на живеещото в нас като космическа действителност, а което виждаме в орбитите на външните планети, е по-родствено на това, което като цяло е небосводът на неподвижните звезди. Тук стигаме също до някакъв вид качествена оценка на това, което, собствено, става тук в космоса. Естествено, трябва да се разглеждат линиите, които приведох тук, само като съвсем схематични, и, собствено, трябва да се каже: вътрешната планета има орбита, която образува примка, центърът на която е самата орбита Земя-Слънце; външната планета приема в своята примка орбитата Земя-Слънце.

Това е, което по същество е съществено, защото самото обстоятелство е извънредно сложно, дотолкова сложно, че, собствено, може да се стигне само до схематични представи. Но от това виждате също, как, от друга страна, е необходимо да се откажем, колкото и неприятно да е това за някои, от определен принцип, който беше внесен в новото време в обясненията ни на природата. Това е принципът всичко да се обяснява по най-прост начин. Някога се е установила тенденция: простото е правилно. Днес все още са силно критични, ако се дават неща, които са недостатъчно прости. Но природата съвсем не е проста. Да, може да се каже, че природата, действителността е нещо, което изглежда просто, но ако се изследва истински, тя е сложна, така че, като правило, в това, което се предлага като просто, се съдържа лъжлив образ.

Съвсем нямах желание да свеждам лекциите приблизително до изричането само на неща, които от самото начало не се съгласуват с общопризнатото, това съвсем не е нещото, към което принципно се стремя, а тук в действителност става дума да се стигне до истината. Но хипотезите на днешния астрономически образ на света съдържат в себе си толкова много противоречия, че фактически оставаш съвсем неудовлетворен, ако днес се занимаваш с обичайната астрономия. Смята се, че хипотетично е приет образ на света, който, разбира се, аз също нарисувах: орбитите на планетите по елипсите, в единия фокус – Слънце и така нататък. След това, доколкото не може иначе, принуждават планетарните орбити да имат различни наклони. Различните ъгли на наклон се получават благодарение на перспективата; това са сложни неща, това са все по същество перспективни неща. Но в изчисленията се приема, собствено, не простата планетна система, която се обяснява на децата в училище и която се запазва за по-нататък, а в действителност приемат образа на света на Тихо Брахе и, освен това, внасят в него постоянно промени. Защото, ако според приетите формули пресмятаме, да кажем, положението на Слънцето към определен момент от време, то не съответства на действителността. Тогава вместо истинското Слънце, на това място се поставя или междинното Слънце, или средното Слънце, тоест измислени неща. Да, това е така, там се използват тези измислени неща, и трябва постоянно да се въвеждат корекции, за да се получат правилните резултати. Но в тези корекции се съдържа това, което води до истината. Ако вместо да се държим за тези формули и да стигаме до измислени неща, направим формулите подвижни в себе си и след това се опитаме да нарисуваме кривите, тогава вече бихме стигнали до системата, която, макар и схематично, нарисувах тук.

И така, виждате, че се опитах преди всичко да придам значение на това, у вас да се появи образ на съзвучието на човешката организация със строежа на космоса. Ако сте проследили всичко казано досега, не можете да разглеждате това съзвучие като някакъв грях срещу убежденията, който съществуват в науката. В епохата, когато се е извършил преходът от системата на Птолемей към коперниковия образ на света, се е изменило и цялото тълкуване на връзките между човека и небесните явления. Ако се върнем в древните времена, когато е имало ясна представа относно съзвучието на небесните движения с формата на човека – говорих вече за това преди няколко дни, макар и в друг аспект, – непременно ще намерим нещо, което макар и да е било инстинктивно, бидейки доведено до съзнанието, вече проявява нашия съвременен начин на мислене, на който също трябва на свой ред да оставаме верни, особено ако навлизаме в такава проблемна и рискована област. Собствено, няма никаква разлика между начина, по който обикновено използваме математиката, и как сега използваме качествената математика, която постепенно формирахме, за разглеждане на човека и небесните явления. Но вижте, още по времето, когато е ставал преходът от древната хелиоцентрична система към новата хелиоцентрична система, с това също в развитието на човечеството се е проявил някакъв прелом за познанието, когато вече не е останал никакъв мост между физически-сетивния миров ред, природния миров ред и моралния миров ред. Често съм споменавал в други лекции: в настояще време сме затрупани с такива противоречия[6], че сме принудени да завършим, от една страна, теоретичните представи за природата в някакво първично образуване, и че, следователно, светът се е развил от чисто природни процеси; следователно нашата Земя – и ние в нея – продължава по-нататък по чисто природни закономерности и достига своя край. Ние живеем посредата. Вътре в нас се надигат морални импулси, само дето не е ясно, откъде идват. Но когато се мисли в духа на такъв дуализъм, несъмнено се знае, че някога ще настъпи великата смърт за тези морални импулси. Така се мисли, когато няма грижа за полагането на мост между природния миров ред и моралния миров ред. Този преход между природния миров ред и моралния миров ред отново трябва да бъде намерен. Отново трябва да бъдем способни да мислим за природния миров ред и моралния миров ред в съзвучие помежду им. При други обстоятелства говорих за това, как е нужно да се търси този преход. Той действително може да бъде намерен именно чрез антропософската духовна наука.

Но тук бих искал да ви обърна внимание на това, че разминаването между природния миров ред и моралния миров ред се проявява също в някои специални области. Такава е областта, с която тук имаме работа. Също и тук в рамките на развитието на човечеството по някакъв начин е станал разрив между природния аспект и моралния аспект. Моралният аспект се е формирал в астрологията, природният аспект – в лишената от дух астрономия. Не си струва даже да казвам, че в астрологията, както се практикува днес, не може да се види нищо, което да има отношение към някаква наука така, както тя се разбира, и това е заблуда, от една страна, която няма необходимост да ви доказвам. Но от друга страна в това, което се нарича наша астрономическа система на света, също имаме работа със заблуда. Тук нямаме работа с действителността, дори в перспективните линии, или в проективните линии, които обикновено се чертаят при изобразяването на нашата планетна система, дори в линиите, появяващи се свръх това, когато в движението, което извършва самото Слънце с цялата планетна система, се вижда на свой ред вече резултираща, съставена от много компоненти. При всичко това имаме работа с неща, състоящи се от множество компоненти. И доколкото тук имаме работа с относителност, е необходимо да се придържаме към критерий, който може да ни доведе до истинско разбиране на кривите, макар на някой да му се струва неопределен критерий, когато просто се опитваме да разкрием тайната, защо човек изпитва потребност да заеме насън хоризонтално положение, тоест да излезе от линията, съединяваща Земята и Слънцето. Подобно на това, как той може да изпълнява своите произволни движения само тогава, когато центърът на тежестта му се движи перпендикулярно на линията, съединяваща Земята и Слънцето, може да осъществява и своите непроизволни движения, само когато приведе себе си в положение, перпендикулярно на орбитата Земя-Слънце. Ако иска да излезе от действието на произволното движение, така че това, което обикновено действа в произволното му движение, да действа вътрешно и да въздейства на обмяната на веществата между тялото и главата, тогава той трябва да се постави по направлението на тази линия. Също можете да намерите преход към другите направления в човека, и от направленията, които могат да се фиксират в човека, и които могат да се изведат от формообразуването му, можете да съставите кривите, за които става дума при разглеждане на движението на небесните тела. Това не е така лесно, както правеното само чрез телескопи и измерване на ъгли. Но това е единственият възможен път, посредством който може да се намери тази връзка между човека и небесните явления.

[1] да помисли по-нататък по изложените тук неща – при четенето е забелязано, че между тези и следващите думи има пропуск. Пропуснатото място се отнася до детайли, които са станали предмет на дискусия по време на лекцията. Дали поради това, че предметът на обсъждането се е отклонил много от основната тема, или защото постскриптът за това място е бил непълен и неясен, но в първото издание това място, както е посочено в бележките, е било пропуснато. Но оскъдните думи имат точна и важна математиче­ска основа и хвърлят нова светлина върху такава важна за целия курс лемниската. Следващите думи са отговор на поставен в хода на лекцията въпрос:

„Вчера един от уважаемите слушатели направи много важна бележка по повод на лекцията, важна поради причината, че може да ви се стори, че тя влияе принципно на нещата, които се разглеждат тук. Това не е така, но има нещо друго, а именно следното: господинът ми обърна внимание, че ако съгласно уравнението пресметнем кривата на Касини, в резултат ще се получи, как трябва да се прекара, собствено, така наречената лемни­ската. Изчисленията показват, – не мога да не се съглася с господина след като сам направих изчисленията, – изчисленията показват: ако това, което е трудно да се установи в обикновените координати, се изследва по отношение на тази крива с помощта на полярни координати, ще се окаже, че лемнискатата, за която говорих, и която се явява специален случай на кривата на Касини, – тоест ако нарисувам тук тази особена форма на кривата на Касини (рис. 1a), ще трябва да прекарам лемнискатата не така (като осморка, рис. 1a), а така (рис. 1b). Следова­телно това е, което в действителност се получава от уравнението. Обаче това не оказва никакво принципно влияние върху обсъжданите от нас тук неща, доколкото тези неща тутакси ще се променят, ако си представите, че рисувам тази лемниската не така, както я нарисувах тук (рис. 1b), а че рисувайки лемнискатата, въртя равнината на чертежа около оста на лем­нискатата. И така, ако докато рисувам, въртя лемнискатата около оста

ѝ, в действителност ще получа това изображение (1a)“.

Едва сега следващите думи получават истинския си смисъл. Но как може по-точно да се разберат тези неща? Беше казано, че въпросът може да се изясни само в полярните координати. Ако при измерване на всички дължини се приеме за единица най-дългият радиус-век­тор на лемнискатата, уравнението ѝ в полярни координа­ти се изписва така: r = (cos2φ)½. Тук r става мни­мо, т.е. излиза от пространството, когато cos2φ става отрицателно. Смяната на знака става в бисектрисите на четирите квадранта; r има действително значение в двете полета на ъгъла, който се дели наполовина от оста x, и мнимо значение в полетата, които пресича оста y. Доколкото реалното r винаги се приема за положително, точките на кривата с φ=45°-α и φ=135°+φ са симетрични относно оста y. Между 45° и 135° няма никакви точки, а също между -45° и -135°. При непрекъснато нарастване на φ лемнискатата преминава с надлъжно огъване съответно на рис. 1b. Пример­но така би трябвало да звучи направената бележка към лекцията. – Ротационната лемниската става съвсем прос­та, ако равнината на лемнискатата се върти около най-дългия диаметър на лемнискатата с такава скорост, с каквато радиус-векторът се върти в равнината. Ъгълът на въртене тогава също е равен на φ. Проекцията на пробягващата точка върху изходната равнина има същото значение x, както и съответстващата точка на лемнискатата в изходната равнина. Обаче y има съмножител cosφ. Доколкото за действителните точки на кривата cosφ по абсолютно значение никога не приема значе­ние по-малко от cos45° = 0,707, проекцията на кривата никога не се отклонява силно от точките на изходната лемни­ската. Вероятно се отклонява по своята форма. Защото cosφ във 2-ри и 3-ти квадранти има отрицателно значение, и проекцията на ротационната лемниската описва осморка, като на рис. 1a, ако лемнискатата премине като на рис.1b, и обратно. Ако при лемнискатата ъгълът в точката на пресичане е прав, при новата крива той е равен 2arctan(1:2½)=70,5°.

[2] виж стр. 81

[3] виж стр. 95

[4] Фридрих Вилхелм Бесел – 1784-1846, немски математик, астроном и геодезист. Уравненията на Бесел се наричат също беселеви „редукции“ или „корекции“. Нееднократ­но са посочвани от Рудолф Щайнер когато е обсъждал дви­жението на Слънцето и Земята по лемнискатата или третия основен закон на Коперник. Тези сведения съдържат различни движения и ефекти, които влияят на видимото място на звездите, и които Бесел е привел до рационална за практическата ас­трономия форма. Тук винаги става дума за съвсем малки величини, но които изразяват факта, че в астрономията няма нищо устойчиво и координатните системи, по които става ориентирането, самите се намират в състояние на промяна. Най-важната от тези промени е прецесията на точката на пролетното равноденствие, ежегодно представляваща като сума 50,4". Другите са периодични, с най-голяма амплитуда 20,5" (аберация), 17,2" (нутация по дължината) и 9,2" (нутация в наклона на еклиптиката) и с отнасящите се тук перио­ди от една година, съотв. 18⅔ години и 18⅔ години. Нагледни разработки и практически метод съдържат алма­насите по астрономия.

[5] Рис.6 – в първото издание рисунката съдържа вляво от малката стрелка два знака, първо някакво „r”, след това „v”. Съществува мнение, че чрез „v” и „r” следва да се забележи това, което става неправилно.

[6] в други лекции: …с такива противоречия – например в редица лекции в „Връзките между духовността на света и физичността на човека“ GA 202, особено лекцията от 18.12.1920 г.